Probabil sunteți familiarizați cu „Regula de 72” în investiții: dacă un compus de investiții la rata dobânzii anuală I, atunci numărul de ani pentru ca banii să se dubleze este de aproximativ 72 / i. De exemplu, dacă o investiție compune cu o rată a dobânzii anuală de 9%, atunci investiția se va dubla în aproximativ 72/9 = 8 ani. Formula de interes compus confirmă acest lucru: 1 * 1.09 8 = 1.992 (rotunjit), care este aproximativ 2.
Pentru distracție, întrebați -vă bancherul sau consilierul pentru investiții de ce Regula a 72 de lucrări.
Funcționează pentru că pe termen scurt, este o lume liniară – aproximativ. Un pic mai matematic este faptul că, într -un cartier suficient de mic, orice funcție diferențiată este aproximativ liniară.
Pentru regula de 72 rezolvăm pentru n în ecuația 1 * (1 + I/100) n = 2. Luăm logaritmi naturali ai ambelor părți:
1 * (1 + I/100) n = 2
LN (1 + I/100) n = Ln 2
n * ln (1 + i/100) = ln 2
n = ln 2 / ln (1 + i / 100)
n ≈ .693 / ln (1 + I / 100)
n ≈ .693 / (I / 100)
n ≈ 69,3 / i
n ≈ 72 / i
Pasul cheie trei linii de mai sus este că pentru valori mici de x, ln (1 + x) este aproximativ egal cu x. O modalitate de a vedea acest lucru este că seria Taylor (scuze, nu a fost inventată de Taylor Swift) expansiunea în jurul a = 0 este:
Ln (1+x) = x – x 2 / 2 + x 3 / 3 – x 4 / 4 +….
Pentru x mic, ln (1+x) este aproximativ egal cu x.
În următoarele parcele, graficul din stânga arată că funcția logaritmică 1 a lui y = ln (1 + x) este cu siguranță diferită de funcția liniară 2 a y = ln (1,05) + (1/1.05)*(x – .05). Funcția 2 este ecuația liniei tangente cu funcția 1 la x = .05. (Pentru a obține linia tangentă, amintiți -vă din calcul că dacă y = ln (1 + x), atunci dy/dx = 1/(1 + x)). Graficul din dreapta este din aceleași două funcții, dar cu intervalul X s -a micșorat până la (0,0, 0,1). În acest interval mic, cele două funcții sunt indistinguibile. În acest cartier mic, funcția diferențiată y = ln (1 + x) este nedistinguibilă de tangenta liniară.
Desigur, o „regulă de 69,3”, unde LN 2 este .693 până la trei zecimale, ar fi o aproximare mai bună la formula de interes compus decât „Regula de 72”, dar 72 este suficient de aproape și este utilă, deoarece 72 are atât de mulți divizori întregi.
În lumea reală presupunem adesea că liniaritatea este o gamă mică. De exemplu, în gătirea unui curcan (nu că am făcut acest lucru vreodată), un site web spune să permită aproximativ 15 minute pe kilogram (în medie!) La 350 ° F pentru a găti un curcan umplut. Dar estimările lor de timp cu lire nu sunt liniare, așa că, de exemplu, estimarea timpului lor de a găti un 24 de kilograme este mai mică de două ori mai mult decât pentru a găti un 12 kilograme. Poate că o aproximare mai bună este o curbă de putere y = a * (x b) Probabil că există unele considerente fizice care nu sunt liniare.
Metoda Newton-Raphson, x n+1 = x n – F (x n ) / f – (x n ), pentru a găsi aproximări la rădăcinile unei funcții, este un exemplu de utilizare matematică a liniarității. NR găsește în mod iterativ interceptarea X a tangentei graficului f. O serie de pachete R au funcții NR.
Și înainte de a încheia subiectul „Este o lume liniară – aproximativ”, cu siguranță puteți măsura distanța dreaptă între două orașe, dar dacă călătoriți cu avionul, avionul zboară distanța dintre două puncte pe o sferă. Având în vedere coordonatele latitudinii și longitudinii și unghiul central dintre cele două puncte, distanța sferică poate fi calculată prin formula Haversine.
R face ușor să nu te mulțumești cu liniaritatea. Dar pentru cei care nu fac ceva în care este necesară o mare precizie, liniaritatea poate fi bine,
Iată codul R pentru a complota graficele. Rețineți că în R, log (x) este funcția de jurnal natural. Acest lucru este valabil și în Python și Excel.
library(ggplot2)
common_theme <- theme(
legend.position="right",
plot.title = element_text(size=15, face="bold"),
plot.subtitle = element_text(size=12.5, face="bold"),
axis.title = element_text(size=15, face="bold"),
axis.text = element_text(size=15, face="bold"),
axis.title.y = element_text(angle = 0),
legend.title = element_text(size=15, face="bold"),
legend.text = element_text(size=15, face="bold"))
a <- 0.0
b <- 1.0
x_values <- seq(a, b, by = 0.01)
func1 <- function(x) {log(1 + x)}
func2 <- function(x) {log(1.05) + (1/1.05)*(x - .05)}
df1 <- data.frame(x = x_values,
y = log(1 +x_values),
func = "Function 1")
df2 <- data.frame(x = x_values,
y = log(1.05) + (1/1.05)*(x_values - .05),
func = "Function 2")
combined_df <- rbind(df1, df2)
ggplot(combined_df, aes(x = x, y = y, color = func)) +
geom_line(size = 1.5) +
scale_color_manual(values = c("Function 1" = "#E41A1C",
"Function 2" = "royalblue4")) +
ylim(c(0, 1)) +
labs(title = "Plot of LN and Linear Functions",
x = "x",
y = "y",
color = "Functions") +
common_theme
ggplot(combined_df, aes(x = x, y = y, color = func)) +
geom_line(size = 1.5) +
scale_color_manual(values = c("Function 1" = "#E41A1C",
"Function 2" = "royalblue4")) +
xlim(c(0, 0.1)) +
ylim(c(0, 0.11)) +
labs(title = "Plot of LN Function and its Tangent Line at x = .05",
x = "x",
y = "y",
color = "Functions") +
common_theme
Sfârşit
