(Acest articol a fost publicat pentru prima dată pe R – Og al lui Xi’anși cu amabilitate a contribuit la R-bloggeri). (Puteți raporta problema legată de conținutul acestei pagini aici)
Doriți să vă distribuiți conținutul pe R-bloggeri? dați clic aici dacă aveți un blog, sau aici dacă nu aveți.
O Acum câteva zile am luat o cafea la Paris cu prietenul meu de multă vreme (și fost editor de Statistică și Calcul) Gilles Celeux și a menționat că nu mai rezolv și mai postez puzzle-uri de matematică precum cele publicate săptămânal de Le Monde. Ele au dispărut într-adevăr odată cu retragerea autorilor, dar Gilles a adăugat că sosirea LLM-urilor ar fi făcut exercițiul discutabil. Nu am fost de acord deoarece (i) distracția de a rezolva puzzle-ul pe cont propriu nu a dispărut și (ii) atractivitatea pedagogică a puzzle-ului și rezoluția lui rămâne. Pe măsură ce următorul puzzle Fiddler a sosit în cutia mea poștală, rezoluția mea a fost pusă la încercare (contrar cu intrarea anterioară, care nu a necesitat calcule masive):
Fiddler League este formată din două echipe. Pe parcursul unui sezon, se joacă între ei de 162 de ori. Fiecare echipă are șanse egale de a câștiga fiecare joc, iar rezultatele jocurilor sunt independente. De-a lungul sezonului, în medie, câte meciuri v-ați aștepta să câștige echipa cu palmaresul mai bun?
Am început pe picior greșit cu E(X|X≥81) când X este Bin(162,½), egal cu 85,77 (fie direct, fie cu o aproximare Normală), care diferă de cel de-al doilea gând, E(max(X,162-X))=86,07 (fie direct, fie cu o aproximare Normală), care este mai mare din cauza reflexiei produse de max. În timp ce primul calcul a fost ușor de gestionat, al doilea părea să implice simulare și m-am lăsat să-l îndemn pe Claude, care a oferit răspunsul împreună cu conexiunea
E(max(X,162−X))=E(X∣X≥81)(1+p81)−81p81
După o oarecare extindere, Liga are 30 de echipe. Pe parcursul unui sezon, fiecare echipă joacă de cinci ori între ei. (Fiecare echipă joacă un total de 145 de jocuri.) Din nou, fiecare echipă are șanse egale de a câștiga fiecare joc, iar rezultatele jocurilor sunt independente. Pe parcursul sezonului, în medie, câte meciuri v-ați aștepta să câștige echipa cu cel mai bun palmares?
Cel mai bun record este max(Xi) cu fiecare dintre cele 30 Xieste o sumă de 29 Yij iar Yij=5-Yji distribuit ca Bin(5,½). XiPrin urmare, sunt Bin (145,½) dar dependente. Deși nu am putut găsi un răspuns în formă închisă pentru așteptare, o rezoluție Monte Carlo directă este în mod evident fezabilă, cu Claude (mai degrabă decât eu) rulând-o peste 400 de milioane de repetări, dar o aproximare Normală cu 30 de dimensiuni care exploatează corelația de 1/29 între componente duce la aproximativ 85 ca valoare așteptată. (Din nou calculat printr-o simulare Claudicant.)
În timp ce concluzia că aproximarea Normală este destul de precisă cu atât de mulți termeni din variatele Binomiale nu este deloc surprinzătoare, Claude mă scutește de timp de codificare fără a strica puzzle-ul cu totul. (Și Gemenii m-au făcut să știu că numele cafenelei în care Gilles și cu mine ne întâlnim în mod regulat, L’Écireste un substantiv din Auvergne pentru un viscol local, periculos, de munte! Legând astfel locul de fundația cafenelei de către expatriați din Auvergne…)
